Reeel Sayilarrrrr!!!!
- Konbuyu başlatan H_006
- Başlangıç tarihi
mObİdİk
New member
ödev istek bölümüne taşıyorum
1. Reel Sayılar
Tanım 1.1. : Aşağıdaki dört takım aksiyomu gerçekleyen R kümesine reel (gerçel) sayılılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.
(I) Toplama Aksiyomları
Her (x,y) R x R için (x,y) → x+y R şeklinde tanımlı + : R x R → R dönüşümü her a, b, c R için aşağıdaki özellikler sağlar :
(i+) (a + b) +c = a + (b + c) ;
(ii+) a + b = b + a ;
(iii+) a + 0 = 0 + a = a olacak şekilde bir 0 R elemanı vardır (0 a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir).
(iv+) a + (- a) = (- a) + a = 0 olacak şekilde bir – a R elemanı vardır(- a ya a nın toplamaya göre tersi denir).
Üzerinde i +. ii +. iii + ve iv + özelliklerini sağlayan (X, +) ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde, (R, +) bir değişmeli toplamsal gruptur.
(II) Çarpma Aksiyomları
Her (x . y) R x R için (x . y) → R şeklinde tanımlı : R x R → E dönüşümü her a, b, c R \ için aşağıdaki özellikleri sağlanır.
(i) (a . b) . c = a . (b . c) ;
(ii) a .b = b.a ;
(iii) a .1 = 1 .a = a olacak şekilde bir 1 R \ elemanı vardır (1 e çarpmaya göre birim veya etkisiz eleman denir).
(iv) a . a-1 = a-1 . a = a olacak şekilde bir a-1 R \ elemanı vardır (a-1 elemanının a nın çarpmaya göre tersi denir).
Üzerinde i., ii., iii. ve iv. Özelliklerini sağlayan (X, .) ikilisine bir değişmeli çarpımsal grup denir. O halde (R, .) bir değişmeli çarpımsal gruptur.
(I.II) Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Soldan ve Sağdan Dağılma Özellikleri
Her a, b, c, R için a . (b+c) = a .b+ a. C, (a +b) . c = a .c + b. C dir.
Üzerinde (I), (II) ve (I,II) özelliklerini sağlayan (X, +, .) üçlüsüne bir cisim denir. O halde (R, +, .) üçlüsü bir cisimdir.
(III) Sıralama Aksiyomları
R üzerinde tanılı “≤” bağıntısı a, b, c R için aşağıdaki özellikleri sağlar :
(i≤) a ≤ a ;
(ii≤) a ≤ b ve b ≤ a a = b ;
(iii≤) a ≤ b ve ≤ e a ≤ c ;
(iv≤) a ≤ b veya b ≤ a ;
Bu durumda, R tam (lineer) sıralanmış bir cisimdir.
(I,III) Toplama ve Sıralama İşlemleri Arasında Bağıntı
Her a, b,c, R için a ≤ b a + c ≤ b + c dir.
(II,III) Çarpma ve Sıralama İşlemleri Arasında Bağıntı
Her a, b, c, R için (a ≤ b) ve (0 ≤ c) a . c ≤ b . c dir.
(IV) Tamlık Aksiyomu
R nin boş olmayan A ve B alt kümeleri her a A ve her b B için a ≤ b eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, her a A ve her b B için a ≤ c ≤ b olacak şekilde tek bir c R elemanı vardır.
Belirtelim ki (I – IV) aksiyomlar takımı reel sayılarını çok az sayıda özelliklerini kapsamaktadır. Bunlara ek olarak reel sayıların aşağıdaki özellikleri de verilebilir.
(a) R de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.
(b) R de her elemanın toplamsal tersi tektir.
(c) Her a, b R için x + a = b denkleminin tek bir x = b ( - a) b – a çözümü vardır.
(d) R de birim eleman tektir.
(e) Her a R \ sayısının a-1 tersi tektir.
(f) Her a R ve b R için a,x = b denkleminin tek bir x = b . a-1 = çözümü vardır.
(g) Her a R için a . 0 = 0
(h) (a . b, 0 ) (a = 0) veya (b = 0).
(i) Her a R için – a = (- 1). a.
(j) Her a R için (- 1) . (- a) = a.
(k) Her a R için (- a) . (- a) = a.a.
(l) Herhangi iki a, b R sayıları için, a < b, a veya b < a özelliklerinden biri ve yalnızca biri sağlanır. (a < b yazılışını a küçük b ve b > a yazılışını ise b büyük a diye okuyacağız).
(m) Herhangi a, b R için
(a < b) Λ (b ≤ c) (a < c)
(a ≤ b) Λ (b < c) (a < c)
Herhangi a, b, c, d R için
(a < b) (a + c < b + c),
(0 < a) Λ (c ≤ d) (a + c ≤ b + d),
(a ≤ b) Λ (c < d) (a + c < b + d)
(o) a, b, c R olmak üzere
(0 < a) Λ (0 < b) (0 < a.b) (a < 0) Λ (b < 0) (0 < a.b),
(0 > a) Λ (0 < b) (a .b < 0) (a < b) Λ (0 < c) (a . c < b . c)
(a < b) Λ (c < 0) (b . c < a . c)
(p) 0 < 1.
(q) (0 < a) (0 < a-1 ), (0 < a) Λ (a < b) (0 < b-1) Λ (b-1 < a-1).
Reel sayıların diğer özellikleri daha sonraki bölümlerde verilecektir.
a > 0 eşitsizliğini sağlayan pozitif, a < 0 eşitsizliğini sağlayan sayılara ise negatif sayılar denir, sırasıyla R+ = { x R : x > 0} ve R - = {x R : x < 0} ile gösterilir.
Tanım 1.2. : Boş olmayan bir X R alt kümesi verilsin.
(a) Her x X için x ≤ b olacak biçimde bir b R sayısı varsa, X kümesine üstten sınırlıdır denir ve b sayısına da X kümesinin bir üst sınırı denir.
(b) Her x X için a ≤ x olacak biçimde bir a R sayısı varsa, X kümesine alttan sınırlıdır denir ve a sayısına da X kümesinin bir alt sınırı denir.
(c) X hem alttan ve hem de üstten sınırlı ise (yani her x X için a ≤ r ≤ b olacak şekilde a ve b sayıları varsa) X’e sınırlı küme denir.
(d) Her x X için x ≤ M olacak şekilde bir M X eleman varsa, M’ye X kümesinin maksimal (veya en büyük) elemanı denir ve M = veya M = max {x : x X} şeklinde gösterilir.
(e) Her x X için m ≤ x olacak biçimde bir m X elemanı varsa, m’ye X kümesinin minimal (veya en küçük) elemanı denir ve m = veya M=min {x : x X} şeklinde gösterilir.
Örneğin. X = {x R : 0 < x < 1} kümesinin minimal ve maksimal elemanları yoktur. Y = {x R : 0 ≤ x ≤ 1} kümesinin minimal ve maksimal elemanları vardır ve sırasıyla – 1 ve 1 dir.
X R Lt kümesi üstten sınırlı olduğunda
B = {b R : b, x nin üst sınırıdır}
kümesi boş değildir. Benzer şekilde X R alt kümesi alttan sınırlı olduğunda
A = {a R : a, X nin alt sınırıdır} kümesi boş değildir.
Tanım 1.3 : (a) X R alt kümesi üstten sınırlı is
B = {b R : b, X nin üst sınırıdır} kümesinin minimal elemanına
X kümesinin en küçük üst sınırı denir ve supX (veya eküsX) ile gösterilir.
(b) X R alt kümesi alttan sınırlı ise A = {a R : a, X alt sınırıdır} kümesinin maksimal elemanına X kümesinin en büyük alt sınırı denir ve infX (veya ebasX) ile gösterilir.
Böylece, tanıma göre supX = min{b R : X X, x ≤ b} ve infX = max {a R : x X, a ≤ x} dir.
Yukarıda söylenenlerden de görüldüğü gibi R nin boş olmayan ve ğstten (alttan) sınırlı her alat kümesinin maksimal (minimal) eleman olmayabilir. Bununla ilgili aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem1.4 (Üst Sınır Prensibi) : R nin boş olmayan ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir tek en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. (Bu özelliğe sup özelliği denir.).
İspat : X R boş olmayan üstten sınırlı bir küme ve B = {b R : b. X nin üst sınırı} olsun. x X ve b B için x ≤ b olduğundan IV Tamlık aksiyomuna göre x X ve b B için x ≤ c ≤ b olacak şekilde tek bir c E elemanı vardır. c elemanı X nin üst sınırı olduğundan c B dir. Öte yandan, b B için c ≤ b olduğundan c = minB = subX olur.
Benzer şekilde aşağıdaki teorem ispatlanabilir
Teorem 1.5 : R nin boş olmayan ve alttan sınırlı her al kümesinin bir tek en büyük alt sınırı (infimumu) vardır.
Boş olmayan sınırlı bir X alt kümesi için B = supX ve A = infX sayıları aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir.
(a) B = supX “ x X için x ≤ B ve > 0 için B – < x0 olacak biçimde x0 X elemanı vardır.”
(b) A = infX “ x X için A ≤ x ve > 0 için x0 < A + olacak biçimde x0 X elemanı vardır.”
Tanım 1.6 : a ve b iki reel sayı ve a < b olsun. {x R : a < x < b} kümesine a başlangıçlı b bitimli açık aralık denir ve (a, b) (veya \a,b\) şeklinde gösterilir. Benzer olarak {x R : a ≤ x ≤ b) kümesine a başlangıçlı ve b bitimli kapalı aralık denir ve \a,b\ şeklinde gösterilir.
{x R : a < x ≤ b} ve {x R : a ≤ x < b} kümelerine sırasıyla a da açık b de kapalı ve b de açık, a da kapalı yarı açık aralıklar denir ve (a. b| (veya |a. b|) ve |a. b) veya (|a. b|) şeklinde gösterilir. a, b R olmak üzere (a.+ ∞) (veya |a, + ∞|), |a. + ∞) (veya |a. + ∞|), (- ∞, b) (veya |- ∞, b|), (- ∞, b| (veya | - ∞,b|) ve ( - ∞, + ∞) sonsuz aralıkları aşağıdaki şekilde tanımlanır :
(a, + ∞) = {x R : a <x}
|a, + ∞) = {x R : a ≤ x}
(- ∞, b) = {x R : x < b}
(- ∞, b| = {x R : x ≤ b}
( - ∞, + ∞) = R
R reel sayı kümesine + ∞ ve - ∞ ile gösterilen ve artı sonsuz, eksi sonsuz olarak okunan iki yeni sembolü ilave etmek suretiyle elde edilen R =E {- ∞, + ∞} kümesine genişletilmiş reel sayılar sistemi denir. Bu sayılar sistemi aşağıdaki koşulları sağladığı kabul edilir.
(a) x R için - ∞ < x < + ∞, x – (+∞) = x - ∞ = - ∞, x + (+∞)
x + ∞ = + ∞, x – ( - ∞) = x + ∞ = + ∞, + ∞ + (+ ∞) =
+ ∞, - ∞ + ( - ∞) = - ∞,
(b) x > 0 ise x. (- ∞) = - ∞, x.(+ ∞) = ∞, + ∞,
(c) x < 0 ise x. (- ∞) = + ∞, x (+ ∞) = - ∞, - ∞
Boş olmayan X R alt kümesi verilsin. Eğer, X kümesi alttan sınırlı değilse ,- infX = - ∞ ve X kümesi üstten sınırlı değilse, supX = + ∞ gibi tanımlanır. Buna göre, R nin boş olmayan her alt kümesinin hem supremumu hem de infimumu vardır.
Tanım 1.7 : E R alt kümesi ve a R noktası verilsin. A nın her (a) komşuluğunda E kümesinin en az bir elemanı varsa a noktasına E kümesinin bir limit (yığılma) noktası denir.
Örneğin, E = kümesinin her noktası (0,1), (0,1 0,1) ve kümelerinin bir limit noktasıdır. Tanımdan ve bu örnekten de görüldüğü gibi bir kümenin limit noktası kümenin kendisine at olmayabilir.
R nin her noktası Q nün bir limit noktasıdır.
E = { } kümesinin yalnızca bir R limit noktası vardır.
Eğer, a R noktası E nin bir limit noktası ise, her (a) komşuluğunda E nin sonsuz sayıda elemanı vardır.
1.8 Çözümlü Problemler
(1) Tamlık aksiyomları (c), (h), (m), (p) ve (q) özelliklerinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm :
(c). x = b + (- a) sayısının x + a = b denkleminin bir çözümü olduğu açıktır :
a + (b + (-a) + b) = (a + (- a)) + b = 0 + b = b + 0 = b.
Bu çözümün tekliğini görelim. X1 R sayısı da a + x ) b denkleminin bir çözümü olsun. Yani a + x1 = b eşitliği sağlansın. Bu durumda, IV+ aksiyomuna göre ve R deki her elemanın toplamsal tersi tek olduğundan
a + x1 = b (a + x1) + ( - a) = b + ( - a) ( x1 + a) + (- a) = b + (- a)
x1 + (a + (-a)) = b + (-a) x1 + 0 = b + (-a)
x1 = b + (- a)
elde ederiz
(h). a. b = 0 olsun. Eğer, b 0 (veya a 0) ise a. B ) 0 denkleminin a ya (b ye) göre çözümü tek olduğundan a = 0. b-1 = (b = 0. a-1 = 0 elde ederiz.
(m). İkinci önermenin doğruluğunu görelim. Sıralama aksiyomlarının ikinci özelliğine göre
(a ≤ b) Λ (b < c) (a ≤ b) Λ ( b ≤ c) Λ (b c) a ≤ c
olur. Şimdi a c olduğunu gösterili. a = c olsun. Bu durumda.
(a ≤ b) Λ ( b < c) (c ≤ b) Λ (b < b) Λ (c ≤ b) Λ (b ≤ c) Λ (b c)
olur. Burada sıralama aksiyomlarının birinci özelliğine göre (b= c) Λ (b c) çelişkisi elde edilir.
(p). 1 R \ {0}, yani 1 0 olsun. Eğer 1 < 0 ise (0) özelliğine göre
(1 < 0 ) Λ (1 < 0) (0 < 1. 1) (0 < 1)
elde edilir.
(q). a 0 olduğu açıktır. a-1 < 0 olduğunda
(a-1 < 0) Λ (0 < a) (a.a-1 < 0) (1 < 0)
çelişkisi elde edilir. Şimdi ikinci önermenin doğruluğunu görelim.
(0 < a) Λ (a < b) (0 < b) Λ (a < b)
(0 < a-1) Λ (0 < b-1) Λ (a < b) (0.a-1. b-1) Λ (a < b)
(a. (a-1. b-1) < b(a-1. b-1)) a.(a-1). b-1 <(b. b-1). a-1
1.b-1 < 1.a-1 b-1 < a-1
elde edilir.
(2) X Y R ise supX ≤sup Y ve infX ≥ inf Y olduğunu gösteririz.
Çözüm : B1 = supX ve B2 = supY olarak alalım. Eğer, Y kümesi üstten sınırlı değilse, B2 = + ∞ dir. Dolayısıyla, B1 ≤ + ∞ B2 olduğu açıktır. Y üstten sınırlı olsun. bu durumda, üst sınır prensibine göre B2 sonlu sayıdır. X Y olduğundan her x X için x ≤ B2 olur. Dolayısıyla, B2 sayısı X in bir üst sınırıdır. Buradan da B1 ≤ B2 elde edilir. İkinci eşitsizlik benzer şekilde gösterilir.
(3) Ø N R ve Ø Y R olsun. eğer, her x X ve her y Y için x ≤ y ise X in üstten, Y nin ise alttan sınırlı olduğunu ve supX ≤ inf Y eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm : Sabit y0 Y ve her x X için x ≤ y0 olduğundan X üstten sınırlı bir kümedir ve supX ≤ y0 olur. Her y Y için supX ≤ y olduğundan Y alttan sınırlı bir kümedir. Buradan da supX ≤ infY elde edilir.
(4) Problem 3 deki X ve Y kümeleri için X Y = R ise supX = infY olduğunu gösteriniz.
Çözüm : supX ≤ infY olduğunu Problem (4) de gösterdik. Şimdi supX = infY olduğunu gösterelim. IV Tamlık aksiyomuna göre her x X ve her y Y için x≤c≤y olacak biçimde tek bir c R sayısı vardır. Eğer, supX < infY ise c X ve c Y elde edilir. Bu ise X Y = R olması ile çelişdiğinde supX = infY olur.
2. Reel Sayı Sınıfları
2.1. Doğal Sayılar
Tanım 2.1.1 : Bir şey saymakta yararlanılan ve rakamlar adı verilen 0, 1, 2 …. 8,9 on sembol ile yazılabilen sayıların tümüne doğal sayılar kümesi denir ve
N = {1, 2, 3, ….. n. N +1…}
Şeklinde gösterilir.
Doğal sayıları tamamen belirtmeye yeterli olduğu ispatlanabilen en belirgin özellikler Peano aksiyomları adıyla aşağıdaki beş aksiyomla ifade edilebilir :
N1) 1 bir doğal sayıdır : 1 N ;
N2) n N n+ = n + 1 N ;
N3) n N n+ 1 ;
N4) n, m N, n+ = m+ n = m ;
N5) (1 A N ve n A n+ A) A =N.
N5 aksiyonuma Matematik İndüksiyon Prensibi denir. Bu aksiyom, matematikte sık sık kullanılan bir ispat tekniğini ortaya koymaktadır.
Teorem 2.1.2 : doğal sayısına bağımlı bir B bağıntısı
a. 1 doğal sayısı için doğru: B (1) doğru,
b. n için doğru ise n + 1 için de doğru: B doğru ise B(n + 1) doğru oluyorsa, B bağıntısı bütün doğal sayılar için doğrudur.
Bu teoremde belirlenen ispat tekniğine Matematik İndüksiyon (veya Tümevarım) Yöntemi denir.
Bu teoremin yardımı ile doğal sayıların sık sık kullanılan önemli özellikleri ispatlanabilir. Bunlardan birkaçını verelim:
(a) n.m N (n + m) N Λ n.m N ;
(b) (n N) Λ (n 1) (n – 1) N ;
(c) Her n N için {x N : n < x} kümesinin minimal elemanı vardır. ve.
min {x N : n < x} = n + 1;
(d) (m N) Λ (n N) Λ (n < m) (n + 1) ≤ m ;
(e) n - N ise n < x <n+ 1 olacak biçimde x doğal sayısı yoktur ;
(f) N nin boş olmayan her alt kümesinin bir minimal elemanı vardır:
(g) N nin üstten sınırlı her alt kümesinin maksimal elemanı vardır:
(h) N üstten sınırlı değildir.
2.2 Tam Sayılar
Herhangi n N için n + x = n denkleminin tek çözümü – n elemanlarını N kümesine İlave ederek elde edilen
Z – {…, - n,…..- 2, - 1, 0, 1, 2, …., n,…}
Kümesine Tam sayılar kümesi denir. Tam sayılar şu özellilere sahipti :
(a) n, m Z (n + m) Z Λn.m Z;
(b) n, m Z olmak üzere n + x = m denkleminin Z kümesinde tek bir x = ( - n) + m çözümü vardır :
(c) Z nin her sınırlı alt kümesinin minimal ve maksimal elemanı vardır :
(d) Z sınırsız bir kümedir.
2.3 Rasyonel Sayılar
n 0 olmak üzere m ve n birer tam sayı ise m.n-1 = m / n şeklindeki sayıya rasyonel sayı ve bu sayıların teşkil ettiği kümeye Rasyonel sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre değişmeli cisim yapısına sahiptir.
Teorem 2.3.1 : Rasyonel olmayan sayı vardır.
İspat : Teoremi ispat etmek için karesi ikiye eşit olan pozitif s R sayısının varlığını ve bu s sayısının rasyonel bir sayı olmadığını göstermek yeterlidir.
X = {x R+ : x2 < 2} ve Y = {y R+ : y2 >2} olsun. 1 x ve 2 Y olduğundan, X 0 ve Y R+ için x < y x2 < y2 olduğundan her x X ve her y Y için x < y dir. O zaman Tamlık aksiyomuna göre her x X ve her y Y için x ≤ s ≤ y olacak şekilde tek bir s R sayısı vardır. s2 - 2 olduğunu görelim. s2 < 2 olsun. O zaman 1 X olduğundan 12≤ s2 < 2 ve 0 < - 2 – s2 < 1 dir. Öte yandan
olduğundan s + elde edilir. Bu ise her x X için x ≤ s olması ile çeliştiğinden s2 < 2 varsayımın doğru olmadığı anlaşılır.
Şimdi 2 < s2 olduğunu varsayalım. 2 Y olduğundan 2 < s2 ≤ 4 ve 0 < = s2 – 2 ≤ 2 dir. Öte yandan (0 < <1 olduğundan)
olduğundan s - elde edilir. Bu ise her y Y için y ≥ s olması ile çeliştiğinden s2 > 2 varsayımının da doğru olmadığı anlaşılır. Böylece tek bir s2 – 2 durumu gerçeklenebilir. s Q olduğu kolayca gösterilebilir.
Rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesini I ile göstereceğiz.
a0 a1,…, an tam sayılar olmak üzere
a0 xn + a1 xn -1 + … + an -1 x + an = 0
polinom denkleminin çözümü olan x sayısına bir cebirsel sayı denir. Katsayıları tam sayı olmayan bir polinom denklemin çözümü olan irrasyonel sayılara transandantal sayılar denir.
Cebirsel sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilir bir küme olduğu halde transandantal sayılar kümesi sayılamayan bir kümedir.
Teorem 2.3.2: (Archimet Prensibi) ; Her h > 0 ve her x R için (k – 1 ) h ≤ x < kh olacak şekilde k tamsayı vardır. (Bu özelliğe reel sayı kümesinin Arşimet özelliği denir.)
İspat : Z kümesi üstten sınırlı olmadığından her h > 0 ve her x R için
X =
Kümesi Z nin alttan sınırlı boş olmayan bir alt kümesidir. O zaman tam sayıların (c) özelliğine göre X kümesinin minimal elemanı vardır, yani k – 1 ≤ < k olacak şekilde bir tek k Z sayısı vardır. h > 0 olduğundan
k – 1 ≤ h ≤ x < k h
olur.
Sonuç 2.3.3 : c > 0 ise olacak şekilde en az bir n N sayısı vardır. gerçekten, h = 1 ve x = alındığında Arşimet Prensibine göre olacak şekilde k0 Z vardır. 0 < ise k0 N olur. Bu durumda. n > k0 doğal sayısı için olduğundan doğal sayısı için 0 < < c olur.
Sonuç 2.3.4 : Eğer, > 0 için 0 ≤ x < h ise x = 0 dır.
Gerçekten x > 0 olamaz. Çünkü x > 0 olduğunda Sonuç 1.10.5’e göre olacak şekilde n0 N sayısı vardır. bu ise her h > 0 için x < h olması ile çelişir.
Sonuç 2.3.5 : a,b ve x reel sayılar olsun. Eğer, her n N sayısı için
a ≤ x < a +
ise x = a dır.
Sonuç 2.3.6 : Herhangi iki reel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.
İspat : a,b R ve a < b olsun. b – a > 0 olduğundan Sonuç 1.10.5’e göre 0< olacak şekilde bir n N sayısı vardır. Arşimet Prensibine göre ≤ a < olacak şekilde m Z sayısı vardır. o halde dir. Aksi takdirde ≤ a < b ≤ dir ve buradan da b – a ≤ çelişkisi elde edilir. Böylece, r = Q ve a < dir. Demek ki, herhangi iki reel sayı arasında hiç değilse bir rasyonel sayı bulunacaktır. Bu işleme istenildiği kadar devam edilebilir.
2.4 Çözümlü Problemler
(1) N kümesinde (a), (c) ve (g) özelliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.
Çözüm : (a) m,n N verilsin. (m + n) N olduğunu görelim. X = {n Nm+n) N, m N} kümesini göz önüne alalım. Her m N için (m + 1) = ((m + n) + 1 N olduğundan n + 1 N ise (m + (n + 1)) = ((m + n) + 1) N olduğundan n + 1 N olur.
Matematiksel indiksiyon metoduna göre X = N elde edilir.
N,m N olduğunda n,m N olması benzer şekilde gösterilebilir.
(c) X = {n N : (c) önermesi doğru}kümesini göz önüne alalım ve X = N olduğunu
görelim. Önce 1 X, yani min{x N : 1 < x} = 2 olduğunu görelim. Y = {x n : (x = 1) (2 ≤ x)) diyelim. 1 Y olduğu açıktır. Eğer x Y ise, x = 1 ve bu durumda x + 1 = 2 Y dir veya 2 ≤ x elde edilir. Bi durumda 2 ≤ x + 1 olur. Yine de x = y Y dir. Buradan Y = N olduğu anlaşılır. Demek ki, (x 1) (x N) ise 2 ≤ x elde edilir, yani min{x N : 1 < x} = 2 olur. Böylece 1 N dir.
Şimdi n X iken n = 1 X olduğunu görelim. gerçekten, eğer x {x N : n + 1 <} ise, her x doğal sayısı için x ≥ 1 olduğundan (x – 1) = y {y N : n < y} olur. Buradan da N nin (b) özelliğine göre x – 1 = y N olur.
n X ise min {y N : n < y} = n + 1 dir. Yani x – 1 ≥ y ≥ n + 1 ve x ≥ n +2 dir. Buradan da (x {x N : n + 1 <x} ise (x ≥ n + 2) olur. Dolayısıyla, min {x N : n + 1 < x} = n + 2 olur. Yani n + 1 X dir. Matematik indiksiyon metoduna göre X = N dir.
(g) X N üstten sınırlı bir küme olsun. üst sınır prensibine göre supX = B R
sayısı vardır. üst sınırın karakteristik özelliklerine göre B – 1< n ≤ B olacak şekilde n X sayısı vardır. Buradan = maxX olduğu anlaşılır.
(2) Z tamsayılar kümesinin üstten sınırsız olduğunu gösteriniz.
Çözüm : Önce N kümesinin üstten sınırsız olduğunu, yani N nin (h) özelliğinin doğruluğunu görelim. Olmayana ergi yöntemine göre eğer, N üstten sınırlı bir küme ise maxN = n elemanı mevcuttur. Fakat, n + 1 N ve n + 1> n dir. N Z ve N üstten sınırsız olduğundan Z de üstten sınırsızdır.
(3) (a) a rasyonel irrasyonel olduğunda a - ve a . sayılarının irrasyonel olacağını gösteririz.
(b) a sıfırdan farklı rasyonel ve irrasyonel ise a . ve a / sayılarının irrasyonel olacağını gösteriniz.
Çözüm : (b) önermesinin doğru olduğunu görelim. a . bir irrasyonel sayıdır. Gerçekten, eğer a . = r Q ise iki rasyonel sayının oram da rasyonel bir sayı olduğundan olur. Bu ise nın irrasyonel bir sayı olması ile gelişir, nın da irrasyonel bir sayı olduğu benzer şekilde gösterilir.
(4) a0 0,a1,a2,….an tam sayılar olmak üzere a0 xn + a1 xn – 1 + … + an – 1x + an polinom denklemi verilsin. Eğer, denklemin p/q şeklinde rasyonel bir kökü varsa an, p ile a0 da q ile tam olarak bölünebilir olduğunu gösteriniz.
Çözüm : p/q sayısı bir kök olduğundan, bunu verilen denklemde yerine koyarsak ve her iki tarafı qn ile çarparsak
(*)
elde edilebilir ve denklemi p ile bölersek
(**)
denklemini elde ederiz. (1.4) ün sol tarafı tam sayı olduğundan sağ tarafı da tam sayı olmak zorundadır. P ve q asal sayılar olduğundan p, qn ni tam olarak bölemez. Dolayısıyla, an ni bölmek zorundadır.
Benzer şekilde, (*) denkleminin her iki tarafını q ile bölmek suretiyle a0 m q ya bölünmesi zorunluluğunun da gösterebiliriz.
(5) in bir rasyonel sayı olmadığını gösteriniz.
Çözüm : x = dersek, x2 = 8 + = 2 ve x4 – 16x2 + 4 = 0 denklemini elde ederiz. Problem 4’e göre bu denklemin muhtemel rasyonel kökleri ±2 ve ± sayıları olabilir. Fakat, bu sayıların hiçbiri verilen denklemi sağlamadığından sayısı rasyonel bir sayı deği
1. Reel Sayılar
Tanım 1.1. : Aşağıdaki dört takım aksiyomu gerçekleyen R kümesine reel (gerçel) sayılılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.
(I) Toplama Aksiyomları
Her (x,y) R x R için (x,y) → x+y R şeklinde tanımlı + : R x R → R dönüşümü her a, b, c R için aşağıdaki özellikler sağlar :
(i+) (a + b) +c = a + (b + c) ;
(ii+) a + b = b + a ;
(iii+) a + 0 = 0 + a = a olacak şekilde bir 0 R elemanı vardır (0 a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir).
(iv+) a + (- a) = (- a) + a = 0 olacak şekilde bir – a R elemanı vardır(- a ya a nın toplamaya göre tersi denir).
Üzerinde i +. ii +. iii + ve iv + özelliklerini sağlayan (X, +) ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde, (R, +) bir değişmeli toplamsal gruptur.
(II) Çarpma Aksiyomları
Her (x . y) R x R için (x . y) → R şeklinde tanımlı : R x R → E dönüşümü her a, b, c R \ için aşağıdaki özellikleri sağlanır.
(i) (a . b) . c = a . (b . c) ;
(ii) a .b = b.a ;
(iii) a .1 = 1 .a = a olacak şekilde bir 1 R \ elemanı vardır (1 e çarpmaya göre birim veya etkisiz eleman denir).
(iv) a . a-1 = a-1 . a = a olacak şekilde bir a-1 R \ elemanı vardır (a-1 elemanının a nın çarpmaya göre tersi denir).
Üzerinde i., ii., iii. ve iv. Özelliklerini sağlayan (X, .) ikilisine bir değişmeli çarpımsal grup denir. O halde (R, .) bir değişmeli çarpımsal gruptur.
(I.II) Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Soldan ve Sağdan Dağılma Özellikleri
Her a, b, c, R için a . (b+c) = a .b+ a. C, (a +b) . c = a .c + b. C dir.
Üzerinde (I), (II) ve (I,II) özelliklerini sağlayan (X, +, .) üçlüsüne bir cisim denir. O halde (R, +, .) üçlüsü bir cisimdir.
(III) Sıralama Aksiyomları
R üzerinde tanılı “≤” bağıntısı a, b, c R için aşağıdaki özellikleri sağlar :
(i≤) a ≤ a ;
(ii≤) a ≤ b ve b ≤ a a = b ;
(iii≤) a ≤ b ve ≤ e a ≤ c ;
(iv≤) a ≤ b veya b ≤ a ;
Bu durumda, R tam (lineer) sıralanmış bir cisimdir.
(I,III) Toplama ve Sıralama İşlemleri Arasında Bağıntı
Her a, b,c, R için a ≤ b a + c ≤ b + c dir.
(II,III) Çarpma ve Sıralama İşlemleri Arasında Bağıntı
Her a, b, c, R için (a ≤ b) ve (0 ≤ c) a . c ≤ b . c dir.
(IV) Tamlık Aksiyomu
R nin boş olmayan A ve B alt kümeleri her a A ve her b B için a ≤ b eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, her a A ve her b B için a ≤ c ≤ b olacak şekilde tek bir c R elemanı vardır.
Belirtelim ki (I – IV) aksiyomlar takımı reel sayılarını çok az sayıda özelliklerini kapsamaktadır. Bunlara ek olarak reel sayıların aşağıdaki özellikleri de verilebilir.
(a) R de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.
(b) R de her elemanın toplamsal tersi tektir.
(c) Her a, b R için x + a = b denkleminin tek bir x = b ( - a) b – a çözümü vardır.
(d) R de birim eleman tektir.
(e) Her a R \ sayısının a-1 tersi tektir.
(f) Her a R ve b R için a,x = b denkleminin tek bir x = b . a-1 = çözümü vardır.
(g) Her a R için a . 0 = 0
(h) (a . b, 0 ) (a = 0) veya (b = 0).
(i) Her a R için – a = (- 1). a.
(j) Her a R için (- 1) . (- a) = a.
(k) Her a R için (- a) . (- a) = a.a.
(l) Herhangi iki a, b R sayıları için, a < b, a veya b < a özelliklerinden biri ve yalnızca biri sağlanır. (a < b yazılışını a küçük b ve b > a yazılışını ise b büyük a diye okuyacağız).
(m) Herhangi a, b R için
(a < b) Λ (b ≤ c) (a < c)
(a ≤ b) Λ (b < c) (a < c)
Herhangi a, b, c, d R için(a < b) (a + c < b + c),
(0 < a) Λ (c ≤ d) (a + c ≤ b + d),
(a ≤ b) Λ (c < d) (a + c < b + d)
(o) a, b, c R olmak üzere
(0 < a) Λ (0 < b) (0 < a.b) (a < 0) Λ (b < 0) (0 < a.b),
(0 > a) Λ (0 < b) (a .b < 0) (a < b) Λ (0 < c) (a . c < b . c)
(a < b) Λ (c < 0) (b . c < a . c)
(p) 0 < 1.
(q) (0 < a) (0 < a-1 ), (0 < a) Λ (a < b) (0 < b-1) Λ (b-1 < a-1).
Reel sayıların diğer özellikleri daha sonraki bölümlerde verilecektir.
a > 0 eşitsizliğini sağlayan pozitif, a < 0 eşitsizliğini sağlayan sayılara ise negatif sayılar denir, sırasıyla R+ = { x R : x > 0} ve R - = {x R : x < 0} ile gösterilir.
Tanım 1.2. : Boş olmayan bir X R alt kümesi verilsin.
(a) Her x X için x ≤ b olacak biçimde bir b R sayısı varsa, X kümesine üstten sınırlıdır denir ve b sayısına da X kümesinin bir üst sınırı denir.
(b) Her x X için a ≤ x olacak biçimde bir a R sayısı varsa, X kümesine alttan sınırlıdır denir ve a sayısına da X kümesinin bir alt sınırı denir.
(c) X hem alttan ve hem de üstten sınırlı ise (yani her x X için a ≤ r ≤ b olacak şekilde a ve b sayıları varsa) X’e sınırlı küme denir.
(d) Her x X için x ≤ M olacak şekilde bir M X eleman varsa, M’ye X kümesinin maksimal (veya en büyük) elemanı denir ve M = veya M = max {x : x X} şeklinde gösterilir.
(e) Her x X için m ≤ x olacak biçimde bir m X elemanı varsa, m’ye X kümesinin minimal (veya en küçük) elemanı denir ve m = veya M=min {x : x X} şeklinde gösterilir.
Örneğin. X = {x R : 0 < x < 1} kümesinin minimal ve maksimal elemanları yoktur. Y = {x R : 0 ≤ x ≤ 1} kümesinin minimal ve maksimal elemanları vardır ve sırasıyla – 1 ve 1 dir.
X R Lt kümesi üstten sınırlı olduğunda
B = {b R : b, x nin üst sınırıdır}
kümesi boş değildir. Benzer şekilde X R alt kümesi alttan sınırlı olduğunda
A = {a R : a, X nin alt sınırıdır} kümesi boş değildir.
Tanım 1.3 : (a) X R alt kümesi üstten sınırlı is
B = {b R : b, X nin üst sınırıdır} kümesinin minimal elemanına
X kümesinin en küçük üst sınırı denir ve supX (veya eküsX) ile gösterilir.
(b) X R alt kümesi alttan sınırlı ise A = {a R : a, X alt sınırıdır} kümesinin maksimal elemanına X kümesinin en büyük alt sınırı denir ve infX (veya ebasX) ile gösterilir.
Böylece, tanıma göre supX = min{b R : X X, x ≤ b} ve infX = max {a R : x X, a ≤ x} dir.
Yukarıda söylenenlerden de görüldüğü gibi R nin boş olmayan ve ğstten (alttan) sınırlı her alat kümesinin maksimal (minimal) eleman olmayabilir. Bununla ilgili aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem1.4 (Üst Sınır Prensibi) : R nin boş olmayan ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir tek en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. (Bu özelliğe sup özelliği denir.).
İspat : X R boş olmayan üstten sınırlı bir küme ve B = {b R : b. X nin üst sınırı} olsun. x X ve b B için x ≤ b olduğundan IV Tamlık aksiyomuna göre x X ve b B için x ≤ c ≤ b olacak şekilde tek bir c E elemanı vardır. c elemanı X nin üst sınırı olduğundan c B dir. Öte yandan, b B için c ≤ b olduğundan c = minB = subX olur.
Benzer şekilde aşağıdaki teorem ispatlanabilir
Teorem 1.5 : R nin boş olmayan ve alttan sınırlı her al kümesinin bir tek en büyük alt sınırı (infimumu) vardır.
Boş olmayan sınırlı bir X alt kümesi için B = supX ve A = infX sayıları aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir.
(a) B = supX “ x X için x ≤ B ve > 0 için B – < x0 olacak biçimde x0 X elemanı vardır.”
(b) A = infX “ x X için A ≤ x ve > 0 için x0 < A + olacak biçimde x0 X elemanı vardır.”
Tanım 1.6 : a ve b iki reel sayı ve a < b olsun. {x R : a < x < b} kümesine a başlangıçlı b bitimli açık aralık denir ve (a, b) (veya \a,b\) şeklinde gösterilir. Benzer olarak {x R : a ≤ x ≤ b) kümesine a başlangıçlı ve b bitimli kapalı aralık denir ve \a,b\ şeklinde gösterilir.
{x R : a < x ≤ b} ve {x R : a ≤ x < b} kümelerine sırasıyla a da açık b de kapalı ve b de açık, a da kapalı yarı açık aralıklar denir ve (a. b| (veya |a. b|) ve |a. b) veya (|a. b|) şeklinde gösterilir. a, b R olmak üzere (a.+ ∞) (veya |a, + ∞|), |a. + ∞) (veya |a. + ∞|), (- ∞, b) (veya |- ∞, b|), (- ∞, b| (veya | - ∞,b|) ve ( - ∞, + ∞) sonsuz aralıkları aşağıdaki şekilde tanımlanır :
(a, + ∞) = {x R : a <x}
|a, + ∞) = {x R : a ≤ x}
(- ∞, b) = {x R : x < b}
(- ∞, b| = {x R : x ≤ b}
( - ∞, + ∞) = R
R reel sayı kümesine + ∞ ve - ∞ ile gösterilen ve artı sonsuz, eksi sonsuz olarak okunan iki yeni sembolü ilave etmek suretiyle elde edilen R =E {- ∞, + ∞} kümesine genişletilmiş reel sayılar sistemi denir. Bu sayılar sistemi aşağıdaki koşulları sağladığı kabul edilir.
(a) x R için - ∞ < x < + ∞, x – (+∞) = x - ∞ = - ∞, x + (+∞)
x + ∞ = + ∞, x – ( - ∞) = x + ∞ = + ∞, + ∞ + (+ ∞) =
+ ∞, - ∞ + ( - ∞) = - ∞,
(b) x > 0 ise x. (- ∞) = - ∞, x.(+ ∞) = ∞, + ∞,
(c) x < 0 ise x. (- ∞) = + ∞, x (+ ∞) = - ∞, - ∞
Boş olmayan X R alt kümesi verilsin. Eğer, X kümesi alttan sınırlı değilse ,- infX = - ∞ ve X kümesi üstten sınırlı değilse, supX = + ∞ gibi tanımlanır. Buna göre, R nin boş olmayan her alt kümesinin hem supremumu hem de infimumu vardır.
Tanım 1.7 : E R alt kümesi ve a R noktası verilsin. A nın her (a) komşuluğunda E kümesinin en az bir elemanı varsa a noktasına E kümesinin bir limit (yığılma) noktası denir.
Örneğin, E = kümesinin her noktası (0,1), (0,1 0,1) ve kümelerinin bir limit noktasıdır. Tanımdan ve bu örnekten de görüldüğü gibi bir kümenin limit noktası kümenin kendisine at olmayabilir.
R nin her noktası Q nün bir limit noktasıdır.
E = { } kümesinin yalnızca bir R limit noktası vardır.
Eğer, a R noktası E nin bir limit noktası ise, her (a) komşuluğunda E nin sonsuz sayıda elemanı vardır.
1.8 Çözümlü Problemler
(1) Tamlık aksiyomları (c), (h), (m), (p) ve (q) özelliklerinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm :
(c). x = b + (- a) sayısının x + a = b denkleminin bir çözümü olduğu açıktır :
a + (b + (-a) + b) = (a + (- a)) + b = 0 + b = b + 0 = b.
Bu çözümün tekliğini görelim. X1 R sayısı da a + x ) b denkleminin bir çözümü olsun. Yani a + x1 = b eşitliği sağlansın. Bu durumda, IV+ aksiyomuna göre ve R deki her elemanın toplamsal tersi tek olduğundan
a + x1 = b (a + x1) + ( - a) = b + ( - a) ( x1 + a) + (- a) = b + (- a)
x1 + (a + (-a)) = b + (-a) x1 + 0 = b + (-a)
x1 = b + (- a)
elde ederiz
(h). a. b = 0 olsun. Eğer, b 0 (veya a 0) ise a. B ) 0 denkleminin a ya (b ye) göre çözümü tek olduğundan a = 0. b-1 = (b = 0. a-1 = 0 elde ederiz.
(m). İkinci önermenin doğruluğunu görelim. Sıralama aksiyomlarının ikinci özelliğine göre
(a ≤ b) Λ (b < c) (a ≤ b) Λ ( b ≤ c) Λ (b c) a ≤ c
olur. Şimdi a c olduğunu gösterili. a = c olsun. Bu durumda.
(a ≤ b) Λ ( b < c) (c ≤ b) Λ (b < b) Λ (c ≤ b) Λ (b ≤ c) Λ (b c)
olur. Burada sıralama aksiyomlarının birinci özelliğine göre (b= c) Λ (b c) çelişkisi elde edilir.
(p). 1 R \ {0}, yani 1 0 olsun. Eğer 1 < 0 ise (0) özelliğine göre
(1 < 0 ) Λ (1 < 0) (0 < 1. 1) (0 < 1)
elde edilir.
(q). a 0 olduğu açıktır. a-1 < 0 olduğunda
(a-1 < 0) Λ (0 < a) (a.a-1 < 0) (1 < 0)
çelişkisi elde edilir. Şimdi ikinci önermenin doğruluğunu görelim.
(0 < a) Λ (a < b) (0 < b) Λ (a < b)
(0 < a-1) Λ (0 < b-1) Λ (a < b) (0.a-1. b-1) Λ (a < b)
(a. (a-1. b-1) < b(a-1. b-1)) a.(a-1). b-1 <(b. b-1). a-1
1.b-1 < 1.a-1 b-1 < a-1
elde edilir.
(2) X Y R ise supX ≤sup Y ve infX ≥ inf Y olduğunu gösteririz.
Çözüm : B1 = supX ve B2 = supY olarak alalım. Eğer, Y kümesi üstten sınırlı değilse, B2 = + ∞ dir. Dolayısıyla, B1 ≤ + ∞ B2 olduğu açıktır. Y üstten sınırlı olsun. bu durumda, üst sınır prensibine göre B2 sonlu sayıdır. X Y olduğundan her x X için x ≤ B2 olur. Dolayısıyla, B2 sayısı X in bir üst sınırıdır. Buradan da B1 ≤ B2 elde edilir. İkinci eşitsizlik benzer şekilde gösterilir.
(3) Ø N R ve Ø Y R olsun. eğer, her x X ve her y Y için x ≤ y ise X in üstten, Y nin ise alttan sınırlı olduğunu ve supX ≤ inf Y eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm : Sabit y0 Y ve her x X için x ≤ y0 olduğundan X üstten sınırlı bir kümedir ve supX ≤ y0 olur. Her y Y için supX ≤ y olduğundan Y alttan sınırlı bir kümedir. Buradan da supX ≤ infY elde edilir.
(4) Problem 3 deki X ve Y kümeleri için X Y = R ise supX = infY olduğunu gösteriniz.
Çözüm : supX ≤ infY olduğunu Problem (4) de gösterdik. Şimdi supX = infY olduğunu gösterelim. IV Tamlık aksiyomuna göre her x X ve her y Y için x≤c≤y olacak biçimde tek bir c R sayısı vardır. Eğer, supX < infY ise c X ve c Y elde edilir. Bu ise X Y = R olması ile çelişdiğinde supX = infY olur.
2. Reel Sayı Sınıfları
2.1. Doğal Sayılar
Tanım 2.1.1 : Bir şey saymakta yararlanılan ve rakamlar adı verilen 0, 1, 2 …. 8,9 on sembol ile yazılabilen sayıların tümüne doğal sayılar kümesi denir ve
N = {1, 2, 3, ….. n. N +1…}
Şeklinde gösterilir.
Doğal sayıları tamamen belirtmeye yeterli olduğu ispatlanabilen en belirgin özellikler Peano aksiyomları adıyla aşağıdaki beş aksiyomla ifade edilebilir :
N1) 1 bir doğal sayıdır : 1 N ;
N2) n N n+ = n + 1 N ;
N3) n N n+ 1 ;
N4) n, m N, n+ = m+ n = m ;
N5) (1 A N ve n A n+ A) A =N.
N5 aksiyonuma Matematik İndüksiyon Prensibi denir. Bu aksiyom, matematikte sık sık kullanılan bir ispat tekniğini ortaya koymaktadır.
Teorem 2.1.2 : doğal sayısına bağımlı bir B
bağıntısıa. 1 doğal sayısı için doğru: B (1) doğru,
b. n için doğru ise n + 1 için de doğru: B
doğru ise B(n + 1) doğru oluyorsa, B bağıntısı bütün doğal sayılar için doğrudur.Bu teoremde belirlenen ispat tekniğine Matematik İndüksiyon (veya Tümevarım) Yöntemi denir.
Bu teoremin yardımı ile doğal sayıların sık sık kullanılan önemli özellikleri ispatlanabilir. Bunlardan birkaçını verelim:
(a) n.m N (n + m) N Λ n.m N ;
(b) (n N) Λ (n 1) (n – 1) N ;
(c) Her n N için {x N : n < x} kümesinin minimal elemanı vardır. ve.
min {x N : n < x} = n + 1;
(d) (m N) Λ (n N) Λ (n < m) (n + 1) ≤ m ;
(e) n - N ise n < x <n+ 1 olacak biçimde x doğal sayısı yoktur ;
(f) N nin boş olmayan her alt kümesinin bir minimal elemanı vardır:
(g) N nin üstten sınırlı her alt kümesinin maksimal elemanı vardır:
(h) N üstten sınırlı değildir.
2.2 Tam Sayılar
Herhangi n N için n + x = n denkleminin tek çözümü – n elemanlarını N kümesine İlave ederek elde edilen
Z – {…, - n,…..- 2, - 1, 0, 1, 2, …., n,…}
Kümesine Tam sayılar kümesi denir. Tam sayılar şu özellilere sahipti :
(a) n, m Z (n + m) Z Λn.m Z;
(b) n, m Z olmak üzere n + x = m denkleminin Z kümesinde tek bir x = ( - n) + m çözümü vardır :
(c) Z nin her sınırlı alt kümesinin minimal ve maksimal elemanı vardır :
(d) Z sınırsız bir kümedir.
2.3 Rasyonel Sayılar
n 0 olmak üzere m ve n birer tam sayı ise m.n-1 = m / n şeklindeki sayıya rasyonel sayı ve bu sayıların teşkil ettiği kümeye Rasyonel sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre değişmeli cisim yapısına sahiptir.
Teorem 2.3.1 : Rasyonel olmayan sayı vardır.
İspat : Teoremi ispat etmek için karesi ikiye eşit olan pozitif s R sayısının varlığını ve bu s sayısının rasyonel bir sayı olmadığını göstermek yeterlidir.
X = {x R+ : x2 < 2} ve Y = {y R+ : y2 >2} olsun. 1 x ve 2 Y olduğundan, X 0 ve Y R+ için x < y x2 < y2 olduğundan her x X ve her y Y için x < y dir. O zaman Tamlık aksiyomuna göre her x X ve her y Y için x ≤ s ≤ y olacak şekilde tek bir s R sayısı vardır. s2 - 2 olduğunu görelim. s2 < 2 olsun. O zaman 1 X olduğundan 12≤ s2 < 2 ve 0 < - 2 – s2 < 1 dir. Öte yandan
olduğundan s + elde edilir. Bu ise her x X için x ≤ s olması ile çeliştiğinden s2 < 2 varsayımın doğru olmadığı anlaşılır.
Şimdi 2 < s2 olduğunu varsayalım. 2 Y olduğundan 2 < s2 ≤ 4 ve 0 < = s2 – 2 ≤ 2 dir. Öte yandan (0 < <1 olduğundan)
olduğundan s - elde edilir. Bu ise her y Y için y ≥ s olması ile çeliştiğinden s2 > 2 varsayımının da doğru olmadığı anlaşılır. Böylece tek bir s2 – 2 durumu gerçeklenebilir. s Q olduğu kolayca gösterilebilir.
Rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesini I ile göstereceğiz.
a0 a1,…, an tam sayılar olmak üzere
a0 xn + a1 xn -1 + … + an -1 x + an = 0
polinom denkleminin çözümü olan x sayısına bir cebirsel sayı denir. Katsayıları tam sayı olmayan bir polinom denklemin çözümü olan irrasyonel sayılara transandantal sayılar denir.
Cebirsel sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilir bir küme olduğu halde transandantal sayılar kümesi sayılamayan bir kümedir.
Teorem 2.3.2: (Archimet Prensibi) ; Her h > 0 ve her x R için (k – 1 ) h ≤ x < kh olacak şekilde k tamsayı vardır. (Bu özelliğe reel sayı kümesinin Arşimet özelliği denir.)
İspat : Z kümesi üstten sınırlı olmadığından her h > 0 ve her x R için
X =
Kümesi Z nin alttan sınırlı boş olmayan bir alt kümesidir. O zaman tam sayıların (c) özelliğine göre X kümesinin minimal elemanı vardır, yani k – 1 ≤ < k olacak şekilde bir tek k Z sayısı vardır. h > 0 olduğundan
k – 1 ≤ h ≤ x < k h
olur.
Sonuç 2.3.3 : c > 0 ise olacak şekilde en az bir n N sayısı vardır. gerçekten, h = 1 ve x = alındığında Arşimet Prensibine göre olacak şekilde k0 Z vardır. 0 < ise k0 N olur. Bu durumda. n > k0 doğal sayısı için olduğundan doğal sayısı için 0 < < c olur.
Sonuç 2.3.4 : Eğer, > 0 için 0 ≤ x < h ise x = 0 dır.
Gerçekten x > 0 olamaz. Çünkü x > 0 olduğunda Sonuç 1.10.5’e göre olacak şekilde n0 N sayısı vardır. bu ise her h > 0 için x < h olması ile çelişir.
Sonuç 2.3.5 : a,b ve x reel sayılar olsun. Eğer, her n N sayısı için
a ≤ x < a +
ise x = a dır.
Sonuç 2.3.6 : Herhangi iki reel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.
İspat : a,b R ve a < b olsun. b – a > 0 olduğundan Sonuç 1.10.5’e göre 0< olacak şekilde bir n N sayısı vardır. Arşimet Prensibine göre ≤ a < olacak şekilde m Z sayısı vardır. o halde dir. Aksi takdirde ≤ a < b ≤ dir ve buradan da b – a ≤ çelişkisi elde edilir. Böylece, r = Q ve a < dir. Demek ki, herhangi iki reel sayı arasında hiç değilse bir rasyonel sayı bulunacaktır. Bu işleme istenildiği kadar devam edilebilir.
2.4 Çözümlü Problemler
(1) N kümesinde (a), (c) ve (g) özelliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.
Çözüm : (a) m,n N verilsin. (m + n) N olduğunu görelim. X = {n N
m+n) N, m N} kümesini göz önüne alalım. Her m N için (m + 1) = ((m + n) + 1 N olduğundan n + 1 N ise (m + (n + 1)) = ((m + n) + 1) N olduğundan n + 1 N olur. Matematiksel indiksiyon metoduna göre X = N elde edilir.
N,m N olduğunda n,m N olması benzer şekilde gösterilebilir.
(c) X = {n N : (c) önermesi doğru}kümesini göz önüne alalım ve X = N olduğunu
görelim. Önce 1 X, yani min{x N : 1 < x} = 2 olduğunu görelim. Y = {x n : (x = 1) (2 ≤ x)) diyelim. 1 Y olduğu açıktır. Eğer x Y ise, x = 1 ve bu durumda x + 1 = 2 Y dir veya 2 ≤ x elde edilir. Bi durumda 2 ≤ x + 1 olur. Yine de x = y Y dir. Buradan Y = N olduğu anlaşılır. Demek ki, (x 1) (x N) ise 2 ≤ x elde edilir, yani min{x N : 1 < x} = 2 olur. Böylece 1 N dir.
Şimdi n X iken n = 1 X olduğunu görelim. gerçekten, eğer x {x N : n + 1 <} ise, her x doğal sayısı için x ≥ 1 olduğundan (x – 1) = y {y N : n < y} olur. Buradan da N nin (b) özelliğine göre x – 1 = y N olur.
n X ise min {y N : n < y} = n + 1 dir. Yani x – 1 ≥ y ≥ n + 1 ve x ≥ n +2 dir. Buradan da (x {x N : n + 1 <x} ise (x ≥ n + 2) olur. Dolayısıyla, min {x N : n + 1 < x} = n + 2 olur. Yani n + 1 X dir. Matematik indiksiyon metoduna göre X = N dir.
(g) X N üstten sınırlı bir küme olsun. üst sınır prensibine göre supX = B R
sayısı vardır. üst sınırın karakteristik özelliklerine göre B – 1< n ≤ B olacak şekilde n X sayısı vardır. Buradan = maxX olduğu anlaşılır.
(2) Z tamsayılar kümesinin üstten sınırsız olduğunu gösteriniz.
Çözüm : Önce N kümesinin üstten sınırsız olduğunu, yani N nin (h) özelliğinin doğruluğunu görelim. Olmayana ergi yöntemine göre eğer, N üstten sınırlı bir küme ise maxN = n elemanı mevcuttur. Fakat, n + 1 N ve n + 1> n dir. N Z ve N üstten sınırsız olduğundan Z de üstten sınırsızdır.
(3) (a) a rasyonel irrasyonel olduğunda a - ve a . sayılarının irrasyonel olacağını gösteririz.
(b) a sıfırdan farklı rasyonel ve irrasyonel ise a . ve a / sayılarının irrasyonel olacağını gösteriniz.
Çözüm : (b) önermesinin doğru olduğunu görelim. a . bir irrasyonel sayıdır. Gerçekten, eğer a . = r Q ise iki rasyonel sayının oram da rasyonel bir sayı olduğundan olur. Bu ise nın irrasyonel bir sayı olması ile gelişir, nın da irrasyonel bir sayı olduğu benzer şekilde gösterilir.
(4) a0 0,a1,a2,….an tam sayılar olmak üzere a0 xn + a1 xn – 1 + … + an – 1x + an polinom denklemi verilsin. Eğer, denklemin p/q şeklinde rasyonel bir kökü varsa an, p ile a0 da q ile tam olarak bölünebilir olduğunu gösteriniz.
Çözüm : p/q sayısı bir kök olduğundan, bunu verilen denklemde yerine koyarsak ve her iki tarafı qn ile çarparsak
(*)
elde edilebilir ve denklemi p ile bölersek
(**)
denklemini elde ederiz. (1.4) ün sol tarafı tam sayı olduğundan sağ tarafı da tam sayı olmak zorundadır. P ve q asal sayılar olduğundan p, qn ni tam olarak bölemez. Dolayısıyla, an ni bölmek zorundadır.
Benzer şekilde, (*) denkleminin her iki tarafını q ile bölmek suretiyle a0 m q ya bölünmesi zorunluluğunun da gösterebiliriz.
(5) in bir rasyonel sayı olmadığını gösteriniz.
Çözüm : x = dersek, x2 = 8 + = 2 ve x4 – 16x2 + 4 = 0 denklemini elde ederiz. Problem 4’e göre bu denklemin muhtemel rasyonel kökleri ±2 ve ± sayıları olabilir. Fakat, bu sayıların hiçbiri verilen denklemi sağlamadığından sayısı rasyonel bir sayı deği